Hyppää pääsisältöön
Aihesivun Matematiikka pääkuva

Matemaattinen analyysi

Funktion muutosnopeutta voidaan tutkia graafisin ja numeerisin menetelmin. Funktion muutosnopeutta kuvaa derivaatta, ja sen määrittämistä kutsutaan derivoinniksi. Derivointia tarvitaan matematiikan lisäksi myös teknisissä tieteissä kuten fysiikassa. Derivoinnin käänteisoperaatiota kutsutaan integroinniksi.

Derivaatta

Derivaatta on menetelmä, jonka avulla voidaan tutkia funktion kulkua. Siitä on hyötyä, kun halutaan tutkia esimerkiksi:

  • funktion tai lausekkeen suurinta tai pienintä arvoa
  • milloin funktio on kasvava ja vähenevä
  • miten nopeasti funktio kasvaa

Derivaatta on hyödyllinen esimerkiksi teollisuudessa ja kaupankäynnissä. Sen avulla voidaan optimoida tuotteen hinta mahdollisimman tuottavaksi tai valmistuskulut mahdollisimman pieniksi. Derivaatan avulla voi myös optimoida haluttuja riskejä esimerkiksi rahoituksessa. Vakuutusyhtiöt taas derivoivat etsiessään hintoja vakuutuksilleen.

Funktio on kasvava niissä pisteissä, joissa sen derivaatta on positiivinen, ja laskeva silloin, kun derivaatta on negatiivinen. Tutkimalla funktion kulkua voidaan usein löytää sen suurin ja pienin arvo. Jos funktio on ensin kasvava ja sitten vähenevä, löytyy funktion suurin arvo luonnollisesti derivaatan nollakohdasta. Vastaavasti, jos funktio on ensin vähenevä ja sitten kasvava, derivaatan nollakohdasta saadaan funktion pienin arvo.

Funktion maksimi- ja minimiarvot

Havainnekuvat selittävät kuinka funktion paikallinen ja absoluuttinen maksimiarvo ja paikallinen ja absoluuttinen miniarvo määritellään. Arkistopätkässä näytetään kuvaajan avulla missä kohdalla kuvaajaa ne sijaitsevat.

Kasvava ja vähenevä funktio sekä kulkukaaviot

Funktio on kasvava, jos muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvot kasvavat. Funktio on vähenevä, jos muuttujan arvojen kasvaessa funktion arvot pienenevät. Funktio voi olla kasvava jollain välillä mutta vähenevä jollain toisella välillä.Yksi tapa tulkita funktion kulkua on sen derivoiminen. Funktion f derivaatasta käytetään merkintää Df tai f ’. Funktio on kasvava, kun derivaatta on positiivinen tai nolla. Funktio on vähenevä, kun derivaatta on negatiivinen tai nolla. Kohdat, joissa derivaatta saa arvon nolla, ovat siis tärkeitä, koska niissä funktion kulkusuunta saattaa muuttua.

Kun tunnemme kaikki derivaatan nollakohdat, voimme tutkia, saako derivaatta positiivisia vai negatiivisia arvoja näiden pisteiden ulkopuolella. Kun tiedämme, milloin funktion derivaatta saa positiivisia ja milloin negatiivisia arvoja, tiedämme myös, milloin funktio on kasvava ja milloin vähenevä.

Joitakin kaavoja funktion derivoimiseksi:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Esimerkkejä kulkukaavioista:

Funktio on ensin vähenevä ja sitten kasvava. Se saa pienimmän arvonsa kohdassa x = 0.

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Tämä funktio on ensin vähenevä ja sitten vähenee vielä lisää. Sille ei löydy tällä menetelmällä suurinta tai pienintä arvoa.

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Funktio on ensin kasvava ja sitten vähenevä. Se saa suurimman arvonsa kohdassa x = 5.

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Mitä hyötyä derivaatasta?

Derivaatta voi olla hyödyksi esimerkiksi sellaisen suunnitteluketjun osana, jossa suunnittelijalta tilataan suorakulmainen kuljetuslaatikko, jonka tilavuudelle ja leveydelle on asetettu tietyt ehdot. Kuljetuslaatikon pitää olla mahdollisimman edullinen valmistaa, joten siihen tulee käyttää mahdollisimman vähän materiaalia. Suunnittelija laatii lausekkeen, joka kuvaa vaadittavan materiaalin määrää kuljetuslaatikon korkeuden funktiona. Hän derivoi saadun lausekkeen ja etsii derivaatalle nollakohdat. Tässä vaiheessa suunnittelija huomaa, että derivaatalla on vain yksi nollakohta, jonka vasemmalla puolella derivaatta saa negatiivisia arvoja ja oikealla puolella positiivisia. Suunnittelija toteaa, että derivaatan nollakohdassa funktio saa pienimmän arvonsa. Toisin sanoen käyttämällä kuljetuslaatikon korkeutena derivaatan nollakohdan osoittamaa arvoa valmistuskustannukset tulevat mahdollisimman edullisiksi.