Artikkeli sisältää matemaattisia malleja, joita tarvitaan teknologisoituvassa yhteiskunnassa. Keskeisiä sisältöjä ovat trigonometristen funktioiden määrittely yksikköympyrän avulla ja vektorien peruslaskutoimitukset, kuten pistetulon laskeminen. Sisältöihin kuuluvat myös muutaman peruslauseen, kuten sinilauseen ja kosinilauseen käyttäminen ja soveltaminen erilaisissa tehtävissä.
Trigonometriset funktiot
Trigonometriset funktiot ovat kulman funktioita, joita tarvitaan tutkittaessa kolmioita ja mallinnettaessa jaksollisia ilmiöitä. Trigonometriset funktiot voidaan määritellä paitsi suorakulmaisen kolmion suhteina, myös yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrä on suorakulmaisessa koordinaatistossa oleva ympyrä, jonka keskipiste on origossa. Trigonometrisen yhtälön ratkaisu voidaan esittää joko asteissa ja radiaaneissa. Radiaani on kulman yksikkö, joka on kaaren ja säteen suhde. Yhtälölle löytyy useampia ratkaisuja.
Kulma ja yksikköympyrä
Yksikköympyrä on yksikkösäteinen ympyrä, jonka keskipiste on origossa. Kulman sini ja kosini määritellään yksikköympyrässä kehäpisteen koordinaattien avulla:
Suplementtikulmilla on sama sinin arvo:
Vastakulmilla on sama kosinin arvo, joten:
Radiaani on kulman yksikkö, joka on kaaren ja säteen suhde. Kulmayksiköiden ja radiaanin välillä on yhteys. Esimerkiksi:
Trigonometrisen yhtälön ratkaisu
Ratkaisu voidaan esittää joko asteissa ja radiaaneissa. Huomioitavaa on, että yhtälölle löytyy useampia ratkaisuja.
Yhtälölle:
ja
ja
Vektorit
Vektorit ovat tärkeä osa fysiikkaa ja geometriaa. Vektoreita käytetään mallintamaan suureita, joilla on suuruus ja suunta. Vektoreita kuvataan janoilla, joiden toisessa päässä on nuolenkärki. Vektoreita käsitellessä määritetään erilaisia kulmia, pisteitä, suoria ja tasoja, ja niillä voidaan esimerkiksi kuvata tietyn pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Kurssissa tarkastellaan vektoreiden perusominaisuuksia ja laskutoimituksia.
Laskutoimitukset
Vektorien yhteenlaskulle on voimassa:
Luvun ja vektorin tulo
Vektorit koordinaatistossa
Tasokoordinaatistossa komponenttiesitys vektorille on:
Vektorin pituus:
Pistetulo
Pistetulo on vektorin komponenttiesityksen vastinkoordinaattien tulojen summa.
Pistetulo on nolla, kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vasten. Kahden vektorin pistetulo on vektorien pituuksien ja vektorien välisen kulman kosinin tulo eli:
Trigonometristen funktioiden peruskaavat
Pythagoraan lauseen avulla voidaan ratkaista suorakulmaisen kolmion sivuja. Lausetta ei kuitenkaan voi käyttää muihin kolmioihin. Joissain tapauksessa kolmio voidaan jakaa osiin niin että muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, jolloin Pythagoraan lausetta voidaan käyttää. Kolmioiden sivujen määrittämiseksi on olemassa myös sini- tai kosinilause. Kosinilausetta kutsutaan usein laajennetuksi Pythagoraan lauseeksi.
Sinilause
Kolmiossa sivun ja vastakkaisen kulman suhde on vakio, joten:
Kosinilause
Kosinilause on laajennettu Pythagoraan lause. Kun tunnetaan kolmion kaikki sivut ja sivun a vastainen kulma, niin: