Hyppää pääsisältöön
Aihesivun Matematiikka pääkuva

Matemaattisia malleja III

Artikkeli sisältää matemaattisia malleja, joita tarvitaan teknologisoituvassa yhteiskunnassa. Keskeisiä sisältöjä ovat trigonometristen funktioiden määrittely yksikköympyrän avulla ja vektorien peruslaskutoimitukset, kuten pistetulon laskeminen. Sisältöihin kuuluvat myös muutaman peruslauseen, kuten sinilauseen ja kosinilauseen käyttäminen ja soveltaminen erilaisissa tehtävissä.

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot ovat kulman funktioita, joita tarvitaan tutkittaessa kolmioita ja mallinnettaessa jaksollisia ilmiöitä. Trigonometriset funktiot voidaan määritellä paitsi suorakulmaisen kolmion suhteina, myös yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrä on suorakulmaisessa koordinaatistossa oleva ympyrä, jonka keskipiste on origossa. Trigonometrisen yhtälön ratkaisu voidaan esittää joko asteissa ja radiaaneissa. Radiaani on kulman yksikkö, joka on kaaren ja säteen suhde. Yhtälölle löytyy useampia ratkaisuja.

Kulma ja yksikköympyrä

Yksikköympyrä on yksikkösäteinen ympyrä, jonka keskipiste on origossa. Kulman sini ja kosini määritellään yksikköympyrässä kehäpisteen koordinaattien avulla:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Suplementtikulmilla on sama sinin arvo:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Vastakulmilla on sama kosinin arvo, joten:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Radiaani on kulman yksikkö, joka on kaaren ja säteen suhde. Kulmayksiköiden ja radiaanin välillä on yhteys. Esimerkiksi:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Trigonometrisen yhtälön ratkaisu

Ratkaisu voidaan esittää joko asteissa ja radiaaneissa. Huomioitavaa on, että yhtälölle löytyy useampia ratkaisuja.

Yhtälölle:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

ja

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

ja

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Vektorit

Vektorit ovat tärkeä osa fysiikkaa ja geometriaa. Vektoreita käytetään mallintamaan suureita, joilla on suuruus ja suunta. Vektoreita kuvataan janoilla, joiden toisessa päässä on nuolenkärki. Vektoreita käsitellessä määritetään erilaisia kulmia, pisteitä, suoria ja tasoja, ja niillä voidaan esimerkiksi kuvata tietyn pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Kurssissa tarkastellaan vektoreiden perusominaisuuksia ja laskutoimituksia.

Laskutoimitukset

Vektorien yhteenlaskulle on voimassa:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Luvun ja vektorin tulo

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Vektorit koordinaatistossa

Tasokoordinaatistossa komponenttiesitys vektorille on:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Vektorin pituus:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Pistetulo

Pistetulo on vektorin komponenttiesityksen vastinkoordinaattien tulojen summa.

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Pistetulo on nolla, kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vasten. Kahden vektorin pistetulo on vektorien pituuksien ja vektorien välisen kulman kosinin tulo eli:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Trigonometristen funktioiden peruskaavat

Pythagoraan lauseen avulla voidaan ratkaista suorakulmaisen kolmion sivuja. Lausetta ei kuitenkaan voi käyttää muihin kolmioihin. Joissain tapauksessa kolmio voidaan jakaa osiin niin että muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, jolloin Pythagoraan lausetta voidaan käyttää. Kolmioiden sivujen määrittämiseksi on olemassa myös sini- tai kosinilause. Kosinilausetta kutsutaan usein laajennetuksi Pythagoraan lauseeksi.

Sinilause

Kolmiossa sivun ja vastakkaisen kulman suhde on vakio, joten:

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava

Kosinilause

Kosinilause on laajennettu Pythagoraan lause. Kun tunnetaan kolmion kaikki sivut ja sivun a vastainen kulma, niin: 

Matemaattinen kaava
Matemaattinen kaava